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Principes généraux

Le mouvement de l'océan, à toutes les échelles est régi par les équations de la mécanique :

que l'on peut appliquer à chaque goutte d'eau ou à n'importe quel ensemble de gouttes d'eau. Or le mouvement des vagues fait que l'ensemble des gouttes d'eau du fond à la surface (la "colonne d'eau")  exerce deux forces sur les colonnes d'eau environnantes :

une force de pression qui agit dans toutes les directions
une force d'inertie qui est due à la vitesse de l'eau associé aux vagues et qui agit dans la direction de propagation des vagues (qui est la direction de cette vitesse).

Ces deux forces sont exercées par toutes les colonnes sur leurs voisines et leur intensité dépend de la hauteur des vagues. Ainsi, si la hauteur des vagues est la même partout ces forces s'annulent les unes avec les autres.

Là où ça devient intéressant c'est quand la hauteur des vagues varie dans l'espace, par exemple près d'une plage : les vagues sont hautes au large et diminuent avec le déferlement. Cette différence de hauteur induit donc une force qui s'applique à la colonne d'eau, elle est appelée "contrainte de radiation".
Il peut alors se passer deux choses :

soit la colonne d'eau est accélérée par cette force des vagues
soit une autre force apparaît qui va s'opposer à cette force des vagues

En pratique c'est un peu les deux choses qui se produisent en même temps. Si on arrive à une situation stationnaire l'accélération est nulle et donc une autre force s'oppose à la force exercée par les vagues.
 

En plus de l'équation (1), un autre principe gouverne le mouvement de l'océan :

Donc l'eau qui vient d'un côté doit partir ailleurs. Pour le problème des vagues, quand on regarde ce qui se passe en moyenne sur quelques minutes, cela se traduit par :

et mathématiquement ça donne :

avec r la masse volumique de l'eau, <z> le niveau moyen (en utilisant notre moyenne sur quelques minutes), div l'opérateur de divergence horizontale,  M^m et  M^w les flux de masse horizontaux moyens (vecteurs à deux composantes) du mouvement moyen et des vagues.

Effets en zone littorale

La zone littorale est ici définie par la "région où les vagues déferlent près de la côte". Cette zone englobe donc une bande de mer de largeur variable (entre quelques mètres et quelques kilomètres), en fonction essentiellement de la hauteur des vagues et de la pente du fond. La pente d'une plage est de l'ordre de 1 / 20 (un mètre vertical pour 20 mètres horizontaux), avec une diminution rapide de la hauteur des vagues du large vers la plage.

Les deux forces dues aux vagues (pression et inertie) vont donc agir vers la plage et le long de la plage. Une fois moyennée sur quelques minutes la hauteur des vagues varie peu, et ces deux forces sont donc à peu près constantes. Un équilibre se crée avec deux forces opposées :

Le long de la plage : le frottement au fond sur le courant moyen, accéléré par les vagues
Perpendiculairement à la plage : le gradient de pression causé par la montée du niveau moyen de la mer sur la plage, cette eau étant poussée par les vagues

Les vagues ont donc deux effets sur la circulation littorale :

un courant de dérive moyen le long de la plage de l'ordre de 2 noeuds et qui peut atteindre 4 à 5 noeuds (7 à 10 km/h), que les baigneurs des côtes Aquitaines et les surfeurs connaissent bien. C'est  à cause de ce courant que l'on ne tient jamais en place dans l'eau, on dérive toujours le long de la plage ! Ce courant est d'autant plus fort que les vagues n'arrivent pas face à la plage.
une élévation du niveau moyen sur la plage, qui est environ 15 % de la hauteur des vagues au large (typiquement, de 10 cm à 1,5 m), et qui est difficile à voir mais que les ingénieurs des Pays-Bas connaissent bien car il les oblige à augmenter d'autant la hauteur de leurs digues ... et cela coute très cher, surtout lorsqu'il faut résister à une vague comme on n'en voit que tous les 10000 (dix mille !) ans : c'est la loi hollandaise.

Par ailleurs, l'équation (3) de conservation de la masse implique une circulation particulière. En effet le flux de masse vers la plage est important en surface (c'est la dérive de Stokes). Ce flux vient du fait que le mouvement des gouttes d'eau n'est pas tout à fait périodique comme le décrit la théorie linéaire , après avoir fait un tour une goutte est en fait légèrement déplacée dans le sens de propagation des vagues. Ce flux de masse est nul sur la plage (l'eau ne traverse pas la plage !), et le niveau moyen ne peut pas monter indéfiniment, il doit y avoir un courant de retour en dessous, c'est le courant de retour ("undertow" en anglais). Une dernière particularité de la couche d'eau dans les quelques centimètres près du fond fait que tout au fond le courant est aussi dirigé vers la plage (c'est un effet de la viscosité), ce courant de la couche du fond, expliqué par Longuet-Higgins est appelé "streaming" en anglais.

La force exercée par les vagues qui fait monter le niveau moyen agit dès qu'il y a une variation du champ de vague, elle est importante dans la zone de déferlement. Si les vagues déferlent dans un passage peu profond connectant le large à une zone abritée, cette élévation du niveau moyen peut affecter l'ensemble de la zone abritée. Cela est observé lors des grandes tempêtes en Adriatique: le niveau moyen de la lagune de Venise peut ainsi monter lorsque la zone de déferlement s'étend jusqu'au bout des jetées qui connectent la lagune à la mer... cet effet s'ajout alors à la surcôte de tempête (effet du vent) et à la marée, et peut rajouter 10 à 20 cm d'eau sur la place St Marc.

Ce phénomène est très fréquent dans les lagons du Pacifique dont les passes sont peu profondes. On parle là-bas d' "ensachage".

Effets en zone côtière et au large

En dehors de la zone littorale les choses sont un peu plus compliquées parce que la terre tourne. Les effets des vagues dans ces régions commencent à peine à être sérieusement étudiées. Des études ont montré que les vagues étaient par endroit aussi importantes que la force de Coriolis pour des profondeurs jusqu'à 20 m (Lentz et al., 1999). Après quelques débats, il semble que l'effet des vagues ne puisse pas causer de grands changements du niveau moyen de la mer au large : typiquement 10 cm maximum pour 10 m de profondeur, 1 cm pour 100 m et moins d'1 mm par 1000 m de fond ... Cela sera bientôt vérifié par des calculs. Par contre les vagues jouent un role très important dans les courants de dérive en surface ...

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