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Représentations mathématiques

De nombreux types de modèles numériques existent qui permettent de décrire le mouvement des vagues à diverses échelles. Pour la prévision on utilise plutôt des modèles qui représentent l'évolution du spectre car ils permettent de s'affranchir des détails du mouvement des vagues. La prévision consiste donc à intégrer dans le temps l'équation d'évolution des densités spectro-angulaires E(f,q), avec f =1/T.  la fréquence et q la direction d'où viennent les vagues :

dE / dt + [divx (CgE) + div (CqE) ] =  S               (1)

En clair cette équation s'écrit :

évolution dans le temps +[transport d'énergie dans l'espace + changement de direction ] = sources - puits

C'est donc une "équation de transport" qui décrit le transport de chaque composante. La vitesse C_g est la vitesse de groupe des vagues, vitesse à laquelle l'énergie des vagues est transportée, il s'agit d'un vecteur, orienté dans la direction de propagation des vagues. La vitesse C_q représente la vitesse du changement de direction des vagues, causé par les variations de profondeur, ou bien la courbure de la Terre (si le fond est plat et sur une "Terre plate", C_q = 0 ).  La quantité (C_gE) est le flux d'energie des vagues. Il peut atteindre facilement 100 kW / m. Si on pouvait utiliser facilement cette énergie, en la transformant en électricité par exemple, on pourrait produire assez d'électricité pour 1 million d'habitants avec 10 km de côtes assez bien exposées (voir liens). Ci dessous l'énergie E représentera souvent la variance de l'élévation de surface en mètres carrés (on a alors E = 4 H_s²) l'énergie étant alors rgE, avec r la masse volumique de l'eau.

En regroupant le transport et l'évolution on obtient l'équation (1) sous forme Lagrangienne :

 

dE / dt  =  S               (2)

Le terme S  est la somme de plusieurs termes de "sources et puits" d'énergie : sources quand ils sont positifs et puits quand ils sont négatifs. En pratique certains phénomènes peuvent donner de l'énergie aux vagues ou leur en prendre, si bien qu'on les appelle tous "termes sources" pour simplifier, la source pouvant être négative.

Pour la prévision des vagues au large, telle qu'elle est réalisée par Météo-France et le Centre Européen de Prévision, on utilise 3 termes sources :

S_in représente l'énergie donnée aux vagues par le vent
S_nl représente l'énergie échangée par les différentes composantes des vagues, entre elles. En effet, ces effet sont très faibles pour la houle qui se propage comme si les composantes étaient indépendantes les unes des autres (les vagues sont alors "linéaires" parce que le mouvement associé à l'ensemble des composantes est la somme du mouvement de chaque composante, d'où l'intérêt de la décomposition spectrale). Par contre lorsque le vent souffle assez fort ces échanges dits "non-linéaires" sont très importants.
S_ds représente la dissipations de l'énergie des vagues par formation de moutons en surface. Ce phénomène est d'autant plus important que le vent souffle fort.

Ces trois termes sont des vitesses d'évolution de l'énergie de chaque composante du spectre. Leur combinaison permet de représenter l'évolution du champ de vague par des conditions de vent variables.

Près des côtes le fond influence les vagues par les variations de profondeur à des échelles supérieures à la longueur d'onde, représentées dans les équations (1) et (2). Les plus petites échelles sont importantes par faible profondeur ("faible" dépend de la longeur d'onde et de la hauteur des vagues, et cela peut être à partir de 30 m pour des vagues moyennes de 2 m de hauteur et période 15 secondes, mais beacoup plus, disons 100 m pour de grosses vagues de 6 m). Ainsi la rugosité du fond à l'echelle de 10 cm à 10 m modifie le frottement sur le fond et la dissipation de l'énergie des vagues (on ajoute un terme source S_bf. de dissipation de l'énergie des vagues par friction sur le fond). La nature du fond peut aussi provoquer la dissipation d'energie à l'intérieur des sédiments (vases ou sables grossiers et graviers), et certains distinguent cet effet de la friction avec un terme additionnel de dissipation  S_bds . Enfin la topographie à l'échelle de la longueur d'onde influence elle aussi l'évolution des vagues et n'est pas représentée dans l'équation (3), on peut la représenter sous la forme d'un terme de réflexion et diffusion S_bscat qui est actuellement l'objet de recherches au SHOM. Au total on ajoute alors trois termes sources :

Paramétrisation des termes sources

L'approche décrite ici est celle des modèles de prévision des vagues de "3ème génération", qui diffère de la "deuxième génération" par la manière de calculer le terme d'échanges non-linéaires S_nl. Au large, où S  =  S_in+ S_nl+ S_ds la représentation numérique du terme  S_nl est actuellement un facteur limitant. En effet la théorie des interactions non linéaires (développée par Klaus Hasselmann et Vladimir Zakharov dans les années 1960) dit que S_nl est une fonction assez compliquée du spectre E(f,q) qui est très longue à calculer.  Une approximation, dite des "interactions discrètes" (DIA) a donc été développée par Klaus et Suzanne Hasselmann dans les années 1980, et elle est toujours au coeur de l'ensemble des modèles de vagues opérationnel, avec peut-être une exception. Le SHOM, à la suite de l'ONR (Etats-Unis) et du Rijkwaterstaat (Pays-Bas), co-finance le développement de méthode de calcul rapide et aussi exactes que possibles de ce terme  S_nl , afin de remplacer le DIA.

En utilisant le DIA, les autres termes sont ajustés aux observations de croissance des vagues, en particulier les cas où le vent souffle de la côte et la hauteur des vagues augmente vers le large. Comme il y a 3 termes, il existe de nombreuses manières de faire cet ajustement. En pratique on a d'assez bonnes théories sur le terme S_in de génération par le vent et donc on n'a plus qu'à ajuster la dissipation  S_ds pour laquelle les théories ne sont pas très bonnes. Il existe essentiellement deux écoles pour le  S_in . La première utilise des mesures, très difficiles à réaliser, de flux de quantité de mouvements turbulents au dessus des vagues (en particulier les mesures de la campagne du "Bight of Abaco" aux Bahamas, réalisées par Snyder, Dobson, Elliot et Long). L'autre approche consiste à utiliser des résultats de simulation numériques à très haute résolution de l'écoulement du vent au dessus des vagues, c'est l'approche suivie par Makin et Chalikov. A l'arrivée les valeurs de S_in diffèrent d'un facteur 3 et sa forme spectrale est aussi assez différente. On peut espérer que les mesures de pression turbulente au dessus des vagues et sa corrélation avec la pente des vagues, réalisées par l'équipe de Mark Donelan, permettront de réduire cet écart. Un des problèmes vient du fait que dans les deux cas on extrapole des observations ou des résultats obtenus pour des vents faibles à des conditions très différentes. On se rend compte en particulier que la présence de houle peut largement modifier la croissance de la mer du vent, et la houle elle-même peut être atténuée par le vent. Ces effets sont l'objet de recherches actives.

En utilisant donc le DIA pour le terme  S_nl , les paramètres de Komen, K. et S. Hasselmann pour S_in et S_ds (qui utilisent les observation du "bight of Abaco") on obtient les croissances des vagues ci-dessous. Le calcul a été réalisé avec le modèle CREST, développé au SHOM, avec un vent de terre soufflant vers le large :

La hauteur et la période moyenne des vagues augmente au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la côte, d'autant plus vite que le vent est fort. Dans l'exemple ci-dessus, le terme total S  =  S_in+ S_nl+ S_ds est toujours positif à 40 km de la côte (en vert), en particulier aux basses fréquences (grandes périodes). Ce terme étant positif, cela veut dire que de l'énergie est ajoutée au champ de vagues qui se propage vers le large, donc la hauteur des vagues augmente vers le large. S  est positif pour les fréquences au dessous du pic ( f = 0,25 Hz sur le graphique du haut) et négatif pour les fréquences au-dessus. Le résultat est donc une "migration" du pic vers les basses fréquences : la période moyenne des vagues augmente. On voit que ce phénomène est essentiellement le résultat des interactions non-linéaires représentées par S_nl (en bleu sur le graphique du bas).

 

Discrétisation et schémas numériques

Il existent de nombreuse manières de représenter numériquement l'équation d'évolution des vagues. Historiquement les premiers calculs de propagation ont utilisé la méthode des rayons pour la transformation des vagues près de la côte. Dans ce cas les trajectoires des vagues sont calculées à partir de la profondeur depuis le large vers la côte (calcul direct), en prenant des directions de rayons parallèles au large. Le problème est que ce calcul n'est valable que pour une fréquence et une direction au large. Or les rayons calculés peuvent se croiser (ce croisement est appelé "caustique"), et dans le cadre de cette théorie cela correspond à une hauteur de vagues infinie au point de croisement... ce qui est assez gênant. En fait ce problème est évité lorsqu'on considère un grand nombre de fréquences et de directions car pour chaque composante les caustiques ne seront pas au même endroit et donc la hauteur des vagues reste finie. Ce calcul est tout de même assez couteux (voir l'article de Bouws et Battjes paru en 1982 dans JGR). Une autre solution adoptée pour le modèle développé au SHOM est le calcul inverse : à partir d'un point où on veut connaître les vagues, on calcule les trajectoires suivies par les vagues pour y arriver.

Ci-dessous un exemple de "graphique spaghetti" : les traits qui change de couleur sont des trajectoires pour des vagues de très basses fréquence, tracées depuis un point de profondeur 8 m, vers le large. La limite du plateau continental (profondeur 100 m) est indiquée en pointillés. Les traits changent de couleur toutes les 10 minutes pour donner une idée du temps de propagation des vagues. On voit donc que la direction des vagues a tendance à devenir perpendiculaire à la côte lorsqu'on s'en approche.

Le modèle TOMAWAC, développé par EDF/LNHE utilise aussi ce principe mais arrête le calcul des rayons après un seul pas de temps.

La plupart des autres modèles (WAM, Wavewatch III ...) utilisent une représentation Eulérienne, avec des "différences finies".

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