Après un rappel des équations de base
(équations primitives), cette étude est
divisée en trois parties dans la première,
nous dérivons un nouveau système d'équations
géostrophiques de base, à partir des équations
primitives. Ce système est un développement
à l'ordre 2 en nombre de Rossby de ces équations
primitives (avec un nombre de Burger d'ordre unité),
l'ordre 0 d'un tel développement étant l'équilibre
géostrophique, l'ordre 1 le système quasi-géostrophique.
Ces nouvelles équations, dites de vorticité
généralisée, gouvernent donc des
mouvements non-linéaires plus fortement océaniques
que les équations quasi-géostrophiques.
De plus, elles conservent la vorticité potentielle
(donc l'enstrophie) et l'énergie, ce que l'on ne
pensait possible jusqu'à maintenant que pour les
équations primitives et quasi-géostrophiques.
Ces équations sont dérivées dans
le cadre d'une stratification verticale continue.
Dans la deuxième partie, nous montrons que les
équations de vorticité généralisée,
projetées sur une stratification verticale discrète
(en couches) sont identiques à celles directement
obtenues dans le même régime de paramètres
à partir des équations shallow-water (primitives
en couches). Cette méthodologie nous permet alors
de dériver un nouveau système d'équations
en couches, cette fois pour les dynamiques non linéaires
et frontales (faibles nombres de Burger). Ce système
frontal n'a pas d'équivalent simple en stratification
continue. Les modèles généralisé
et frontal sont les versions exactes (i.e. conservatives)
de modèles approchés, dérivés
précédemment et existant dans la littérature.
Nous appliquons ces équations non linéaires
et frontales à l'intersection d'isobathes et d'isopycnes,
nous montrons comment généraliser le modèle
quasi-géostrophique pour tenir compte de telles
situations, et nous calculons finalement les corrections
non linéaires aux ondes de Rossby. La troisième
partie est essentiellement numérique : nous rappelons
les méthodes d'implémentation des équations
généralisées et frontales. Nous comparons
les vorticités potentielles de ces modèles
à celles des modèles quasi-géostrophique
et shallow-water pour des tourbillons de Rankine. Finalement,
nous étudions numériquement la fusion de
deux tourbillons tels que ceux-ci en présence de
monts sous-marins élevés, dans les différents
modèles.
After recalling the basic equations (the primitive
equations), we divide this study into three main parts
: the first part is devoted to deriving a new system
of equations, basically geostrophic, from the primitive
equations. This system is, a second-order expansion/truncation
in Rossby number of the primitive equations, under the
assumption of an order-unity Burger number. The zeroth-order
expansion in Rossby number is the traditional geostrophic
balance, while the first-order expansion is the quasi-geostrophic
model. These new equations, dubbed of generalized vorticity,
thus govern more nonlinear motions than the quasi-geostrophic
equations. Moreover, they conserve potential vorticity
(hence enstrophy) and energy, a fact sofar thought possible
for primitive and quasigeostrophic equations only. The
generalized vorticity equations have been derived in
the context of a continuous vertical stratification.
In the second part, we show that the generalized vorticity
equations, projected onto a discrete vertical stratification
(layer model) are identical to those directly obtained
in the same parameter regime from the shallow-water
equations (layered primititive equations). This methodology
then enables us to derive a new system of layered equations,
now for frontal and nonlinear dynamics (small Burger
numbers). This frontal system has no simple equivalent
vith a continuons stratification. The generalized and
frontal vorticity models are the exact (i.e. conservative)
versions of previously derived approximate models (found
in the literature). We apply these equations to the
crossing of isobaths and isopycnals, we show how to
modify the quasi-geostrophic model, to handle such situations,
and we finally compute the nonlinear corrections to
Rossby waves. The third part is essentially numerical
: we recall the implementation methods of the frontal
and generalized equations. We compare the generalized
vorticities for the Rankine vortex in the various models,
and in the quasi-geostrophic and shallow-water models.
Finally, we numerically study the merger of two such
vortices in the presence of tall seamounts, in the various
models.
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- Extended french summary
- Basic equations
- A continuously stratified O(Ro2) - Intermediate
model, conserving energy and enstrophy
- Multi-layer intermediate models
- Application to vortex dynamics
- Conclusions
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