Police plus grandePolice plus petite

Deux approches complémentaires pour un phénomène aléatoire

Imprimer la page

Les vagues sont des oscillations de la surface de la mer, générées par l'énergie du vent et entretenues par la pesanteur. Pour les scientifiques elles font donc partie des "ondes de gravité de surface". Les vagues partagent cette propriété avec la marée et les tsunamis, ces derniers sont générés par le mouvement des astres et les glissements de terrain sous la mer. Les vagues transportent une quantité importante d'énergie qu'elles tirent de la force du vent sur l'ensemble des mers du globe et qui est dissipée par la deférlement au large et sur les côtes. Des vagues de 4 mètres de hauteur (Hs) et de période 12 secondes représentent un flux d'énergie à la côte de 1 Mégawatt pour 10 mètres de côte.

Les vagues que l'on peut voir en mer sont très irrégulières et changeantes. Pourtant on est capable de dire d'où elles viennent et de mesurer leur hauteur. Plusieurs méthodes scientifiques permettent de  décrire et de mesurer cette irrégularité. Toutes ces méthodes font appel aux statistiques. Les deux méthodes les plus utilisées sont l'analyse vague par vague qui décrit les propriétés individuelles des vagues, et l'analyse spectrale qui décrit la forme de la surface comme une superposition de composantes de formes simples (les vagues linéaires) avec des amplitudes variant lentement en temps. L'analyse spectrale est utilisée pour la prévision des vagues car les vagues se comportent presque exactement comme des vagues linéaires superposées. Les effets non-linéaires, qui sont important près des côtes, peuvent être mis en évidence par une analyse bispectrale. D'autres méthodes, comme l'analyse en ondelettes (qui est en quelque sorte une analyse spectrale sur des échantillons courts) sont utilisées pour mettre en évidence des variations rapides. Ces méthodes, qui ne seront pas détaillées ici, sont particulièrement utiles pour mettre en évidence des phénomènes intermittents comme les vagues mosntrueuses (freak waves).

 

Analyse vague par vague


Pour cette analyse on décompose la série de mesures d'élévation de la surface en segments de durée T qui séparent deux passages successif dans le même sens par le niveau moyen. Sur l'image ci-dessous on a pris le sens "montant". La durée T est la période de la vague. Pendant cet intervalle la position de la surface est passée par un minimum (le creux) et un maximum (la crête), la distance de creête à creux est la hauteur de la vague (H). On peut aussi mesurer d'autres paramètres (asymétries verticales et horizontales, pentes, courbure ...).

On voit bien qu'il y a des petites et des grandes vagues, des périodes longues et courtes.  On détermine à partir de ces mesures des probabilités d'avoir une hauteur ou une période. Pour la hauteur, la distribution ressemble à une loi de Rayleigh (ci-dessous), c'est en tout cas ce qui est prévu par la théorie linéaire: une suporposition d'un grand nombre d'ondes sinusoidales indépendantes donne une distribution
Gaussienne pour l'élévation de la surface, ce qui correspond à une loi de Rayleigh pour les hauteurs. En pratique on observe un peu plus de grandes vagues que ce que donne cette loi. C'est la preuve que les vagues sont faiblement non-linéaires. C'est par ces effets non-linéaires que l'on peut expliquer la présence de vagues "scélérates", jusqu'à 3 fois la hauteur Hs. De telles vagues seraient beaucoup trop rare pour être observé si les ondes étaient linéaires.

Distribution de Rayleigh






Distribution de Rayleigh pour un état de mer donné :

dp*dH est la  probabilité de trouver une vague de hauteur entre Hv et Hv+dH.

 En rouge : le 1/3 des vagues les plus hautes dont la moyenne H1/3 est la hauteur significative Hs. 

 

La théorie linéaire

Le mouvement de l'eau sous une série de vagues sinusoidales est assez bien décrit par la théorie linéaire des vagues ou théorie d'Airy du nom du savant Anglais qui l'a découverte au 19ème siècle. Cette théorie est une bonne approximation du mouvement des vagues tel qu'on peut le mesurer. Ainsi une goutte d'eau décrit une trajectoire circulaire quand la goutte est en surface, et ce cercle s'aplatit vers le fond. Sous la crête des vagues, la vitesse de la goutte d'eau est dans la direction de propagation. Au bout d'une période la goutte d'eau est revenue à peu près à sa position de départ: les vagues se propagent sur de grandes distances, mais, en première approximation, l'eau ne se déplace pas.

Le mouvement dépend essentiellement de 3 paramètres :

  •  la hauteur des vagues H ("wave height" en anglais)
  • la période des vagues T ("wave period")
  • la profondeur de la mer D ("local depth") 

De ces paramètres découle une autre grandeur importante, la longeur d'onde L, distance entre deux crêtes consécutives. Si on change la période des vagues, la longueur d'onde change aussi . Dans l'animation ci-dessus cela ne se voit pas car l'échelle du dessin est ajustée pour représenter une longueur d'onde, mais on peut vérifier le changement de la valeur de L qui est affichée. On peut aussi remarquer que si on prend des grandes valeurs de T, la forme des trajectoires des gouttes d'eau s'applatit, même en surface, pour devenir uniforme sur la verticale.

L est reliée à la période T et la profondeur D par l'équation :

 
g × 2×( pi / L) × tanh ( D×2×pi/L) = (2×pi / T )× (2×pi / T )     (1)

avec g l'accélération de gravité, et pi = 3,1415 ...

Voici la relation entre T et L pour quelques valeurs de D

dispersion linéaire

Le mouvement de la surface de la mer qui caractérise les vagues est donc associé à une vitesse des gouttes d'eau, mais aussi à des changements de la pression sous l'eau et dans l'air. Ces changements de pression sont utilisés pour mesurer les vagues (voir figure ci-dessous), comme on mesure la marée. Cependant les vitesses et pression associées aux vagues diminuent fortement avec la profondeur, d'autant plus que la période (ou la longueur d'onde L) sont petites. Ainsi à une profondeur égale L la vitesse et les variations de pression sont à peine 4 % de leur valeur en surface. Dans un sous-marin à 100 m de profondeur on ne sent quasiment plus les vagues.

 

Superposition de vagues


En pratique les vagues ne sont pas régulières comme dans l'animation ci-dessus : la hauteur de deux crêtes successives est différente, elles vont dans des directions différentes.Il n'y a jamais deux vagues identiques. Comment faire pour les décrire scientifiquement ?  Ce type de problème se rencontre dans de nombreux domaine de la physique : optique, acoustique ... et on utilise les mêmes méthodes : on décompose les oscillations de la surface en oscillations régulières élémentaires. Chaque oscillation élémentaire a la forme des mouvements de l'animation ci-dessus. Cette décomposition permet de représenter le mouvement de la surface comme une superposition de vagues ayant chacune une direction et une période (et donc une longueur d'onde) différente.


Ci-dessous un exemple de mesure de pression au fond (correspondant à une oscillation de la surface) réalisée à St Anne du Portzic (Finistère) en octobre 2003. On y voit des vagues irrégulières, avec des oscillations de période autour de 5 secondes, mais aussi des mouvements plus lents. Nous verrons ailleurs comment on détermine un spectre, qui permet de voir cette décomposition en différentes périodes.


La dispersion des vagues


L'équation (1) est appelée "relation de dispersion" car elle permet de calculer comment les vagues se dispersent. En effet la vitesse de déplacement des crêtes des vagues est C = L / T (vitesse "de phase"), et l'équation (1) permet de la calculer.

Vitesses de phase

 

Cette vitesse varie avec la période, si bien que les vagues de grande période (on trouve souvent dans le Pacifique des vagues de période supérieure à 12 secondes) se propagent plus rapidement que des vagues de courte période (en Méditerrannée la période est souvent de 4 à 8 secondes). Ainsi, des vagues qui sont au départ mélangées (par exemple dans une tempête) se dispersent chacune à sa vitesse. Lorsque sur une plage on voit arriver des vagues d'une tempête lointaine, les premières vagues ont des périodes assez longues, car se sont les premières à arriver, et la période diminue au fur et à mesure que les vagues plus lentes arrivent. Ce type d'observation était utilisé pour déterminer la distance à laquelle se trouve une tempête.

Cette dispersion (différence de vitesse des composantes) est forte en eau profonde et disparait lorsque les vagues s'approchent de la côte : par faible profondeur la vitesse de phase est la même quelle que soit la période des vagues : C = (g h)½ , les vagues de grande période en eau peu profonde ne sont pas dispersives: toutes les courbes ci-contre deviennent "plates" pour les grandes périodes.

Le phénomène de dispersion explique aussi que l'énergie des vagues est transportée avec une vitesse Cg (vitesse de groupe) différente de la vitesse de phase C.

 

Le spectre des vagues


Comme pour la lumière ou le son, la décomposition des vagues suivant différentes fréquences se traduit sous forme de spectre. La différence essentielle est que l'on ne voit pas le spectre (pour la lumière les différentes fréquences sont les couleurs, et pour le son, les différentes fréquences correspondent à la hauteur, grave ou aigü). Comprendre le spectre des vagues demande donc un peu d'imagination. Il y a plusieurs manière de représenter le spectre. Une de ces manières utilise une décomposition en différentes longueurs d'onde. On décompose alors la forme de la surface en calculant la contribution de différents nombres d'onde k, avec k = 2 pi / L. Ce nombre d'onde est la norme d'un vecteur d'onde k, un vecteur a deux composantes kx et ky, dans les deux directions horizontales x et y. Une oscillation de longueur d'onde L0 dans la direction x donne une contribution dans le spectre au vecteur d'onde k = ( kx=2 pi / L0 , ky=0).

Pour transformer la forme de la surface de l'espace physique, où les coordonées sont x et y, à l'espace spectral, où les coordonées sont kx et ky, on utilise une opération mathématique : la transformée de Fourier. Ce type de spectre, en nombre d'onde, est très utilisé pour l'analyse d'images de la surface marine.

Ci-dessous : trois exemples de forme de la surface de la mer et les spectres associés. Sur les spectres les couleurs rouges et oranges représente une forte et faible intensité du spectre.


Quand on n'a pas d'image de la surface mais seulement une série de mesure en un même point, on utilise plus volontiers une décomposition en fréquence f = 1 / T , et direction. On peut passer d'un spectre en nombre d'onde à un spectre en fréquence en utilisant la relation de dispersion (1).

Dans l'exemple ci-dessous (a), la couleur représente la densité d'énergie pour une fréquence (axe radial) et direction donnée. Le pic du spectre, en rouge, correspond donc à des vagues arrivant de l'est avec une fréquence au pic, fp = 0,659 Hz, ce qui correspond à une période de 14 secondes. Quand on regroupe les énergies de toutes les directions pour une même fréquence, on obtient le spectre en fréquence (courbe b). La hauteur significative des vagues, Hs est à peu près la hauteur moyenne du 1/3 des plus hautes vagues. Elle se calcule à partir de l'energie des vagues E (en joules par mètre carré) :  Hs = 4 [E / ( rho g ) ]-½, où rho est la masse volumique de l'eau.Cette énergie E est la somme des énergies de chaque composante du spectre. Pour mieux comprendre l'état de la mer qui y correspond, la photo de droite correspond à une prise de vue de la plage,  réalisée par le U.S. Army Corps of Engineers dans le cadre de la campagne de mesure DUCK'94. Pour donner une échelle, l'engin qui est pris dans les vagues est le Coastal Research Amphibious Buggy (CRAB), engin unique au monde, et qui mesure 12 m de haut. 
(N.B.: les mesures figurées en (a) et (b) sont faites juste au large de la plage par 8 mètres de fond). La caméra regarde vers le nord-nord-est, et les vagues arrivent de la droite (de l'est).